Чим processing відрізняється від completed?

processing — оплату отримано, замовлення треба зібрати і відправити. completed — виконано. Для віртуальних і завантажуваних товарів WooCommerce одразу ставить completed після оплати.

Що робить payment_complete()?

Ставить статус (processing або completed), зберігає ID транзакції і дату оплати, списує залишки, якщо ще не списано, і викликає хук woocommerce_payment_complete.